Разобраны задачи: 1. Какое наименьшее количество различных парабол вида y=x^2+bx+c можно начертить на декартовой плоскости так, чтобы у них была ровно 21 различная точка пересечения? 2. На доске написано N единиц. За один ход можно стереть любое имеющееся на доске число и написать вместо него два новых числа, которые в два раза меньше его. При каком наименьшем N можно гарантировать, что в наборе в любой момент времени найдется 8 равных чисел?. 3. В однокруговом турнире участвовало 11 бадминтонистов, причем каждый одержал ровно 5 побед. Сколько в этом турнире будет таких троек бадминтонистов, что во встречах между собой каждый имеет по одной победе? 4. Квадрат площади 4 вписан в криволинейный треугольник, ограниченный дугами двух касающихся внешним образом окружностей радиуса R и их общей касательной. Найдите R. 5. Во всех боковых гранях треугольной пирамиды ABCS (SA=1, SB=2, SC=n) проведены биссектрисы из вершины S. При каком наименьшем целом n отношение площади основания ABC и площади треугольника из оснований проведенных биссектрис будет целым? 6. При каком натуральном n наименьшее значение произведения (1+x)(1+ny)(1+n^2z) равно 1000, если x, y и z - положительные числа, произведение которых равно 1? 7. Найдите коэффициент при x^10 у многочлена (x+1)(x+2)(x+3)...(x+12). 8. Найдите наименьшее целочисленное значение параметра a, при котором функция f(x)=8ax-asin6x-sin5x является возрастающей на всей числовой оси и не имеет критических точек? 9. Найдите квадрат минимальной суммы расстояний до вершин от точки внутри треугольника со сторонами 2, sqrt(3), sqrt(7). 10. Город имеет форму клетчатого прямоугольника, клетки -- кварталы, линии сетки -- улицы. В городе есть патрульная машина, которая каждую ночь паркуется на одном и том же перекрестке, а каждый день должна проехать один раз по замкнутому маршруту , непроходящему дважды через одну точку (кроме начальной и конечной) и содержащему ровно 10 правых поворотов. Назовем число левым, если именно столько левых поворотов можем совершить за день патрульная машина. Найдите сумму всех левых чисел.